極配置による状態フィードバック制御: 状態方程式に基づく制御

この記事では状態方程式表現されたシステムの状態フィードバック制御についてまとめます。特に、極配置法によるゲイン設計と、極配置と性能との関係について触れています。最後に、制御シミュレーションや本記事の関連動画を置いておりますので併せてご覧ください。

なお、状態フィードバック制御の全体像は次の記事でまとめています。

状態フィードバック制御・状態方程式に基づく制御のまとめ

状態方程式とフィードバック制御
- 制御対象の状態方程式表現
- 状態フィードバック制御と自律系
極配置法により配置されたシステムの極と制御性能
可制御正準形の極配置
状態フィードバック制御の関連動画

状態方程式とフィードバック制御

制御対象の状態方程式表現

状態フィードバック制御は、図に示すように状態量に係数を掛けて、それを制御入力として制御する手法（制御則）になります。制御工学における基礎的な制御系設計理論の一つです。

状態フィードバックについて説明をします。状態方程式表現された制御対象が、このように与えられていて、制御入力が $u$ 、制御出力が $y$ となります。状態フィードバックでは、 $u =- Kx$ という形で、制御入力は状態量に係数をかけたものとして入力されます。

上図に示されるものが状態方程式の主な記号になります。 $t$ は時間を表していて、 $x$ は状態ベクトル、 $u$ は入力、 $y$ は制御出力です。このシステムの次数は $n$ という記号を用いて表していて、 $n$ は 1 以上の整数になります。

状態方程式表現の詳細はこちら

blog.control-theory.com

状態フィードバック制御と自律系

状態方程式として与えられるシステムに入力uを- Kx と与えることによって、以下の自律系が得られます。

$\dot x(t) = (A-BK)x(t)$

ここで状態フィードバックを施したシステムのダイナミクスは、この行列 A－BK
によって決まります。

なお、制御則において、 $u = -Kx$ でなく、 $u = Kx$ という表現や $u = Fx$ という表現など、フィードバックゲインおよび制御則の表現形式が色々ありますが、ここでは $u = -Kx$ として進めます。

例えば、n = 3の場合は K は次のベクトル形式になります。

$K = [k_1\,\, k_2\,\, k_3$ ]

また、仮に同じ n = 3であっても、入力数が 2 の場合は K は次の行列形式となります。

状態フィードバックゲイン

極配置法により配置されたシステムの極と制御性能

極配置について説明する前に、まず極についての説明を行います。行列A－BKの固有値がフィードバック系の極であり、次の特性方程式

$|sI - (A-BK)| = 0$

の根でもあります。フィードバックゲインKを定めると、それによって極の値がいろいろ変化します。

特選方程式の根、制御系の極、それぞれ等しいですので、(可制御であれば)制御系の極を自由に、いろいろといじることができます。

このフィードバックゲイン $K$ の決定により、 $A-BK$ の極を適切な場所に配置する、というのが極配置においては重要になってきます。

行列の固有値が極ということから、この極の数は全部で $n$ 個あります。また、全ての極が複素平面の左側にあれば漸近安定であり、これはゲイン $K$ を設定する上での必要最低限の条件になります。

スカラシステムの極と応答

スカラシステム（ $n = 1$ ）の場合、 $A, B, K$ ともにスカラ値となります。極は $A-BK \in R^{1\times 1}$ です。自律系は

$\dot x (t) = (A-BK)x(t)$

であり、その解軌道は

$x(t) = exp( (A-BK)t )x(0) = e^{(A-BK)t}x(0)$

で与えられます。 $A-BK$ の値が負であれば $t$ の増加と共に $x$ の値はゼロに収束していきます（安定）。他方、正の値であれば発散します（不安定）。

極と安定性

スカラシステムの場合と同様に $n \geq 2$ でも、極の実部が負であれば零に漸近し、一つでも実部が正の極があれば発散します。システムが安定であるためには、全てのが極が複素平面の左側にある、というのが必要な条件になってきます。

それでは例題を見ていきましょう。ここでは $n =3$ すなわち3次のシステムの例を示します。

この制御対象は状態数が3個あり、システムの極である a 行列の固有値は1（重根）と-1となります。全ての極が左平面にはないので、仮にこの入力uを 0 とした場合にはこのシステムの状態が発散します。すなわち不安定システムになります。

次に状態フィードバック

$K = [5\,\,12\,\, 7$ ]

を与えることで、極を-1,-2,-3とすることができます。この結果、元のシステムが不安定であっても、極配置により安定化ができます。

状態フィードバックと不安定システムの安定化を示した図 — 状態フィードバックによる安定化

極配置と制御性能

極の実部と応答

次に極の配置（極の位置をどうするか）によって、どのような挙動の違いが出てくるかについて説明します。まず以下の図において、ゲイン2は極を虚軸寄り、この左半平面にはあるものの、虚軸寄りに配置して-0.5　-1　-2と配置したケースです。そして、極をより左側に配置して、-5　-6　-7としたものがゲイン3になります。そして、その極配置を実現するためのフィードバックゲインKはそれぞれ異なっています。

このとき、ゲイン3の極をより左側に配置した方が、早く原点に収束し、ゲイン2よりも早い応答を実現することができます。

状態数3のシステムに対して極配置法により $-10, -15\pm 3i$ とした応答波形を青色とし、 $-4, -3\pm 3i$ とした応答波形をオレンジ色として以下に示します。

青色の方がより早く0に収束している様子がわかります。次に、極の一部のみを変更した数値シミュレーションを示します。青色が $-10, -15\pm 3i$ であり、オレンジ色が $-10, -2\pm 3i$ です。このとき、一つの共役対の極の実部を0に近く配置したオレンジの方が応答がかなり遅くなっていることが確認できます。