連続時間有限整定制御（むだ時間を利用した制御手法）

この記事ではむだ時間項を用いた連続時間有限整定制御について説明します。制御工学では連続時間線形時不変系では指数関数的な信号の振る舞いをします。これに対して、むだ時間項を利用することで有限時間で目標値に整定する有限整定制御が可能となります。関連記事リンクは最下部に置いています。

また、むだ時間については以下の記事でまとめています。

blog.control-theory.com

連続時間有限整定制御のための条件
ステップ目標値への追従
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連続時間有限整定制御のための条件

ここでは、連続時間有限整定制御を紹介します。むだ時間を用いることで、時間的にずらした信号を生成することができます。そして、この作用を利用することで所望の整定時間 $L$ 秒以降の偏差信号を零化することができます。むだ時間を利用した有限整定制御は、フィードフォワード制御的にもフィードバック的にも構成することができますが、ここでは簡単なフィードフォワード的な制御手法について紹介します。

有限制定制御問題を扱うために、信号 $q(t)$ のラプラス変換 $Q(s)$ の構造をむだ時間を含む以下の形で与えます。
\begin{equation}
Q(s)=Q_0(s)+\sum_{j=1}^N Q_j(s)e^{-L_j s}
\end{equation}
例えば、簡単な例として $N = 1$ とし、 $Q_0(s)$ と $Q_1(s)$ の構造を以下のように与えます。
\begin{equation}
Q_1(s)=\frac{b_{0(f-1)}s^{f-1}+...+b_{00}}{\prod_{i=1}^{f}(s+a_i)}, \\ Q_1(s)=\frac{b_{1(f-1)}s^{f-1}+...+b_{10}}{\prod_{i=1}^{f}(s+a_i)}
\end{equation}
ここで、共通の安定極が $-a_1,-a_2,...,-a_f$ であり， $q(t)$ が有限時間 $L$ 秒で整定するための十分条件は以下の式で与えられます。
\begin{equation}
(s+a_i) Q(s) |_{s=-a_i} = 0,\forall i=1,...,f \label{ys_jouken2}
\end{equation}
全ての $i$ について条件を満たすことで有限時間整定を実現することができます。

この条件を満たす信号のラプラス変換は有限区間の積分で表現でき、有限ラプラス変換と呼ばれます。

一旦、制御を抜きにして整定する例をみてみましょう。例えば、 $Q(s)$ を次のように与える場合を考えます。
\begin{equation}
Q(s) = \frac{1}{s+1}-\frac{K}{s+1}e^{-s}\label{kal}
\end{equation}
このとき、 $q(t)$ が 1 秒で整定するためには、 $K = e^{-1}$ とすればよいです。実際、 $q(t)$ の波形は次のように求まります。図より、時刻1秒以降はゼロとなっていることが確認できます。

ステップ目標値への追従

この手法を踏まえて、制御対象 $P(s)$ を設定し、有限整定させる制御器を設計してみます。

制御対象が $P(s)=1/(s+1)$ と与えられる場合を考えます。このとき、ステップ目標値信号は $r(s) = 1/s$ で与えられます。ここで、制御器 $C(s) = C_1(s) + C_2(s)e^{-Ls}$ として $C_1, C_2$ を設計する．ここで，整定させる有限時刻を $t = 1$ とすると、制御器で設定するむだ時間長さは $L = 1$ となります。

$C_1(s)$ および $C_2(s)$ の構造を次のように与えます。
\begin{equation}
C_1(s) = K_1\frac{s+1}{0.5s+1}, C_2(s) = K_2\frac{s+1}{0.5s+1}e^{-s}
\end{equation}
このとき， $K_1+K_2 = 1$ および $K_1+K_2 e^{2} = 0$ を連立して解くことで係数 $K_1,K_2$ が得られ，得られた値を用いてシミュレーションすると次の図が得られます。