制御工学ブログ

制御工学の研究者を20年やっている国立大学教員が制御工学の基礎から専門まで広く説明します。記事内では、動画やMATLABコードを交えながらわかりやすく解説する方針です。制御工学チャンネル(YouTube,動画ポータル)を運営しています。

連続時間有限整定制御(むだ時間を利用した制御手法)

この記事ではむだ時間項を用いた連続時間有限整定制御について説明します。制御工学では連続時間線形時不変系では指数関数的な信号の振る舞いをします。これに対して、むだ時間項を利用することで有限時間で目標値に整定する有限整定制御が可能となります。関連記事リンクは最下部に置いています。

また、むだ時間については以下の記事でまとめています。

 

blog.control-theory.com

 

連続時間有限整定制御のための条件

ここでは、連続時間有限整定制御を紹介します。むだ時間を用いることで、時間的にずらした信号を生成することができます。そして、この作用を利用することで所望の整定時間 L秒以降の偏差信号を零化することができます。むだ時間を利用した有限整定制御は、フィードフォワード制御的にもフィードバック的にも構成することができますが、ここでは簡単なフィードフォワード的な制御手法について紹介します。

有限制定制御問題を扱うために、信号 q(t) ラプラス変換 Q(s) の構造をむだ時間を含む以下の形で与えます。
\begin{equation}
Q(s)=Q_0(s)+\sum_{j=1}^N Q_j(s)e^{-L_j s}
\end{equation}
例えば、簡単な例として N = 1とし、 Q_0(s)  Q_1(s) の構造を以下のように与えます。
\begin{equation}
Q_1(s)=\frac{b_{0(f-1)}s^{f-1}+...+b_{00}}{\prod_{i=1}^{f}(s+a_i)}, \\ Q_1(s)=\frac{b_{1(f-1)}s^{f-1}+...+b_{10}}{\prod_{i=1}^{f}(s+a_i)}
\end{equation}
ここで、共通の安定極が -a_1,-a_2,...,-a_f であり, q(t) が有限時間 L 秒で整定するための十分条件は以下の式で与えられます。
\begin{equation}
(s+a_i) Q(s) |_{s=-a_i} = 0,\forall i=1,...,f \label{ys_jouken2}
\end{equation}
全ての i について条件を満たすことで有限時間整定を実現することができます。

この条件を満たす信号のラプラス変換は有限区間積分で表現でき、有限ラプラス変換と呼ばれます。

一旦、制御を抜きにして整定する例をみてみましょう。例えば、 Q(s) を次のように与える場合を考えます。
\begin{equation}
Q(s) = \frac{1}{s+1}-\frac{K}{s+1}e^{-s}\label{kal}
\end{equation}
このとき、 q(t) が 1 秒で整定するためには、 K = e^{-1} とすればよいです。実際、 q(t) の波形は次のように求まります。図より、時刻1秒以降はゼロとなっていることが確認できます。

応答波形



ステップ目標値への追従

この手法を踏まえて、制御対象 P(s) を設定し、有限整定させる制御器を設計してみます。

制御対象が P(s)=1/(s+1) と与えられる場合を考えます。このとき、ステップ目標値信号は r(s) = 1/s で与えられます。ここで、制御器 C(s) = C_1(s) + C_2(s)e^{-Ls} として C_1, C_2 を設計する.ここで,整定させる有限時刻を t = 1 とすると、制御器で設定するむだ時間長さは L = 1となります。

 C_1(s) および C_2(s) の構造を次のように与えます。
\begin{equation}
C_1(s) = K_1\frac{s+1}{0.5s+1}, C_2(s) = K_2\frac{s+1}{0.5s+1}e^{-s}
\end{equation}
このとき, K_1+K_2 = 1 および K_1+K_2 e^{2} = 0 を連立して解くことで係数 K_1,K_2 が得られ,得られた値を用いてシミュレーションすると次の図が得られます。

ステップ目標値への有限整定制御

ステップ目標値に時刻1秒以後一致していることが確認できます。

関連記事

関連記事はこちらです。

O. J. M. Smith氏によるポジカスト制御です。

Posicast Control of Damped Oscillatory Systems | IEEE Journals & Magazine | IEEE Xplore

フィードバック系での設計論です。(黒沢氏)

連続時間有限整定制御への発想 (jst.go.jp)

コンティニュアスデッドビートコントロールの設計 (jst.go.jp)

延山先生らによるパラメトリゼーションの研究です。

連続時間系における有限整定サーボ系の設計 (jst.go.jp)

連続時間系の有限時間整定制御 (jst.go.jp)

私の研究論文を(一応)挙げておきます。

有限整定条件下での不安定零点と最小アンダーシュート量の解析的表現 (jst.go.jp)

自己紹介

岡島 寛 (熊本大学工学部情報電気工学科准教授)

制御工学の研究をしています。モデル誤差抑制補償器,状態推定,量子化制御など

研究室HP

岡島寛 (システム制御 control-theory.com)

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Hiroshi Okajima (Control Engineering control-theory.com)

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