制御工学ブログ

制御工学の研究者を20年やっている国立大学教員が制御工学の基礎から専門まで広く説明します。記事内では、動画やMATLABコードを交えながらわかりやすく解説する方針です。制御工学チャンネル（YouTube，動画ポータル）を運営しています。

RLC回路の過渡現象（例題）

この記事ではRLC回路の過渡現象について具体例を挙げた説明を行います。回路の過渡現象の全体像については以下の記事をご覧ください。

blog.control-theory.com

RLC回路の過渡解析問題
- スイッチ1の切替と過渡現象
- スイッチ2の切替と過渡現象

RLC回路の過渡解析問題

ここでは、次の図で与えられる回路を考えます。この回路には、抵抗とコイル、コンデンサが１個づつ配置されています。また、スイッチが２個配置されています。

最初の状態では、スイッチは両方ともにオフとなっています。

RLC回路

スイッチ1の切替と過渡現象

最初のステップとして、スイッチ1をオンにした場合を考えます。このとき、スイッチ2はオフのままです。

スイッチ1をオンにした後に成り立つ微分方程式は以下の通りです。

$\displaystyle R \dfrac {dq}{dt} +\dfrac {q}{C} = E$

ただし、 $q$ は電荷であり、電流 $i$ の積分値です。特解を示しますと $q(t)=CE$ が微分方程式を満たす一つの解になります。スイッチ1をオンにして十分に時間が経過すると、電流は流れなくなり、コンデンサでの電圧降下が $E$ と等しくなります。特解としては、この定常状態での解を用いることが一般的です。

$q(t) = A \exp(-t/CR)$ が補解であり、特解と併せて次の式が成り立ちます。

$\displaystyle q(t) = A \exp(-t/CR) + CE$

ただし、Aは未定係数であり、初期条件（境界条件）により定められる項です。

スイッチ1を入れた瞬間 $t =0$ にコンデンサ $C$ の電荷が零だった場合、 $q(0) = A + CE = 0$ を満たす必要があり、 $A = -CE$ が自動的に求まります。

よって、電荷 $q(t)$ の時間推移は次式で与えられます。

$\displaystyle q(t) = CE(1- \exp(-t/CR))$

なお、電荷 $q(t)$ の時間推移が与えられたことで、電流 $i(t)$ は次式で与えられます。

$\displaystyle i(t) = \frac{E}{R}\exp(-t/CR)$

抵抗の両端電圧 $v_R(t)$ の時間推移は $v_R(t)=E\exp(-t/CR)$ となりますし、コンデンサの両端電圧 $v_C(t)$ の時間推移は $V_C(t)=E(1-\exp(-t/CR)$ となります。

スイッチ2の切替と過渡現象

十分な時間経過後に $q(t) = CE$ となった場合を考えます。さらに、スイッチ1をオフにしても閉路が無く電流は流れないため $q(t) = CE$ が成り立ちます。その状態からスイッチ2をオンにした場合について考えます。

$t = t_1$ でオンにしたものとして話を進めます。

電荷と電流の関係を用いることで次式を得ます。（2階の常微分方程式）

$\displaystyle L \dfrac {d^{2}q}{dt^{2}} + R \dfrac {dq}{dt} +\dfrac {q}{C} = 0$

まず、この微分方程式を満足する1つの解として特解を示します $q=0$ で定常状態になっている状態を考えます。このとき、と $q$ の微分値並びに $q$ の2回微分値が0となります。よって、 $q(t) = 0$ は、この微分方程式を満たすことになります。

次に特性方程式 $Lp^2+Rp+1/C = 0$ を解くことによって指数関数の係数が $p_1,p_2$ として求まります。また他には定数 $A_{1}, A_{2}$ が含まれます。

ここで得られた特解と補解とを足した一般解を考えます（以下では $p_1,p_2$ が実数解の例を示しています）。

$q(t) = A_1 \exp(p_1 t) + A_2 \exp(p_2 t)$

$A_1, A_2$ の値は初期条件によって定めます。 $t = t_1$ を代入した際に $q(t_1)$ が満たすべき条件と $i(t_1)$ が満たすべき条件により定まります。以上により、必要な係数が全て求まります。

自己紹介

岡島寛（熊本大学工学部情報電気工学科准教授）

制御工学の研究をしています。モデル誤差抑制補償器，状態推定，量子化制御など

研究室HP

岡島寛 (システム制御 control-theory.com)

English Web Page

Hiroshi Okajima (Control Engineering control-theory.com)

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