この記事では様々な伝達関数とそれに対するステップ応答についてまとめます。応答波形について説明した動画や関連記事リンクは最下部に置いています。
対象システムの伝達関数
伝達関数は、対象システムへの入力のラプラス変換と出力のラプラス変換
の比で表されます。ここでは、対象システム
の伝達関数を
と表記し、その対象に対する応答を表示します。
\begin{equation}
G(s) = \frac{a_{m} s^{m} + a_{{m}-1} s^{{m}-1}\cdots + a_1s + a_0 }{b_n s^n + b_{n-1} s^{n-1}\cdots + b_1s + b_0}
\end{equation}
ここで、は自然数であり、分子および分母は
に関する多項式です。各多項式における係数
および
は実数で与えられます。ここでは、システム
の極
は安定極であることを仮定して話を進めます。
制御対象が同じでも印加する入力信号が異なると当然出力信号も異なります。
ここでは、対象の違いによる波形差を検証する目的でステップ入力信号のみを扱います。相対次数が0, 1, 2の3パターンの伝達関数を用意し、それらのステップ応答を示します。
ステップ入力信号
入力信号 をステップ信号とする場合、
として与えます。出力を調べる場合は、以下の
の逆ラプラス変換を施せば応答波形を求めることができます。
\begin{equation}
y(s) = G(s)\frac{1}{s}
\end{equation}
手順としては、まず部分分数分解を行い、各項ごとに逆ラプラス変換をラプラス変換表に基づいて実施します。
ステップ入力信号の波形は以下の通りです。
時刻0秒以降で値が1となっています。
対象01
相対次数0の対象として次のシステムを与えます。
\begin{equation}
G(s) = \frac{2s+1}{s+1}
\end{equation}
ステップ入力信号に対する出力波形は次の通りです。相対次数が0の場合は直流成分があり、この場合は2から始まります。最終値の定理ではは定常状態で1となりますが、その通りの結果になっています。
対象02
相対次数1の対象として次のシステムを与えます。
\begin{equation}
G(s) = \frac{2s+1}{(s+1)(0.5s+1)}
\end{equation}
ステップ入力信号に対する出力波形は次の通りです。相対次数が1の場合は直流成分がないため0からスタートします。最終値の定理を用いるとは定常状態で1となりますが、その通りの結果になっています。
対象03
相対次数1の別の対象として不安定零点を有する次のシステムを与えます。
\begin{equation}
G(s) = \frac{-s+1}{(s+1)(0.5s+1)}
\end{equation}
ステップ入力信号に対する出力波形は次の通りです。相対次数が1の場合は直流成分がないため0からスタートします。不安定零点を有している結果として、逆応答をしていることが確認できます。
対象04
相対次数2の対象として次のシステムを与えます。
\begin{equation}
G(s) = \frac{1}{(s+1)(0.2s+1)}
\end{equation}
ステップ入力信号に対する出力波形は次の通りです。相対次数が2の場合は直流成分がないため0からスタートします。さらに、初期時刻での信号の傾きが0であることも確認できます。
対象05
相対次数2の対象として次の不安定システムを与えます。
\begin{equation}
G(s) = \frac{1}{(s+1)(-0.2s+1)}
\end{equation}
ステップ入力信号に対する出力波形は次の通りです。相対次数が2の場合は直流成分がないため0からスタートします。さらに、初期時刻での信号の傾きが0であることも確認できます。しかし、不安定システムであるため応答は発散していきます。0.4秒で止めていますが、時間軸を長くすると大きな値になっていきます。
応答と伝達関数の動画・関連記事
以下は制御応答について説明している動画になります。
関連記事はこちらです。
自己紹介
岡島 寛 （熊本大学工学部情報電気工学科准教授）
制御工学の研究をしています。モデル誤差抑制補償器，状態推定，量子化制御など
研究室HP
岡島寛 (システム制御 control-theory.com)
English Web Page
Hiroshi Okajima (Control Engineering control-theory.com)
制御動画ポータルサイト
制御工学チャンネル（伝達関数・状態方程式・MATLABなど）
電気動画ポータルサイト
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以上が伝達関数とステップ応答に関する関連記事になります。本記事は以上です。
